图—最小生成树之克鲁斯卡算法

（1）构造一个只含n个顶点，边集为空的子图。若将图中各个顶点看成一棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林。（2）从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图。也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之（3）依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

解释：（1）将图中的所有边都去掉。（2）将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环（3）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

2、关键问题：

判断某条边<u, v>的加入是否会在已经选定的边集集合中形成环：使用，分别找出两个顶点u, v所在树的根节点。若根节点相同，说明u, v在同一棵树中，则u, v连接起来会形成环；若根节点不同，则u, v不在一棵树中，连接起来不会形成环，而是将两棵树合并。

//判断是否形成回路int Find(int *parent, int f) {    while ( parent[f] > 0) {        f = parent[f];    }    return f;}for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {        n = Find(parent, edges[i].begin);//寻找边edge[i]的“首节点”所在树的树根        m = Find(parent, edges[i].end);//寻找边edge[i]的“尾节点”所在树的树根        //假如n与m不等，说明两个顶点不在一棵树内，因此这条边的加入不会使已经选择的边集产生回路        if (n != m) {            parent[n] = m;            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);        }    }

//克鲁斯卡尔算法//在连通网中求出最小生成树#include 
    
     #include 
     
      #define MAXEDGE 20#define MAXVEX  20#define INFINITY 65535typedef struct{    int arc[MAXVEX][MAXVEX];    int numVertexes, numEdges;//顶点数，边数}MGraph;typedef struct{    int begin;    int end;    int weight;}Edge;   //对边集数组Edge结构的定义//创建图的邻接矩阵void CreateMGraph(MGraph *G) {    int i, j;    G->numEdges=11;    G->numVertexes=7;    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++) {            if (i==j)                G->arc[i][j]=0;            else                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;        }    }    G->arc[0][1]=7;    G->arc[0][3]=5;    G->arc[1][2]=8;    G->arc[1][3]=9;    G->arc[1][4]=7;    G->arc[2][4]=5;    G->arc[3][4]=15;    G->arc[3][5]=6;    G->arc[4][5]=8;    G->arc[4][6]=9;    G->arc[5][6]=11;    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++) {        for(j = i; j < G->numVertexes; j++) {            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];        }    }}//快速排序的条件int cmp(const void* a, const void* b) {    return (*(Edge*)a).weight - (*(Edge*)b).weight;}//找到根节点int Find(int *parent, int f) {    while ( parent[f] > 0) {        f = parent[f];    }    return f;}// 生成最小生成树void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G) {    int i, j, n, m;    int k = 0;    int parent[MAXVEX]; //用于寻找根节点的数组    Edge edges[MAXEDGE]; //定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型    // 用来构建边集数组并排序(将邻接矩阵的对角线右边的部分存入边集数组中)    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++) {        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++) {            if (G.arc[i][j] < INFINITY) {                edges[k].begin = i; //编号较小的结点为首                edges[k].end = j;   //编号较大的结点为尾                edges[k].weight = G.arc[i][j];                k++;            }        }    }    //为边集数组Edge排序    qsort(edges, G.numEdges, sizeof(Edge), cmp);    for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)        parent[i] = 0;    printf("打印最小生成树：\n");    for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {        n = Find(parent, edges[i].begin);//寻找边edge[i]的“首节点”所在树的树根        m = Find(parent, edges[i].end);//寻找边edge[i]的“尾节点”所在树的树根        //假如n与m不等，说明两个顶点不在一棵树内，因此这条边的加入不会使已经选择的边集产生回路        if (n != m) {            parent[n] = m;            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);        }    }}int main(void){    MGraph G;    CreateMGraph(&G);    MiniSpanTree_Kruskal(G);    return 0;}